Question

（2012•黃浦區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx-1（x∈R）．
（1）試說(shuō)明函數(shù)f（x）的圖象是由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的；
（2）若函數(shù)g（x）=

1

2

|f（x+

π

12

）|+

1

2

|f（x+

7π

12

）|（x∈R），試判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，寫(xiě)出函數(shù)g（x）的最小正周期并說(shuō)明理由；
（3）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間和值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的二倍角公式進(jìn)行降次，再用輔助角公式合并，得f（x）=2sin（2x-

π

6

）．再用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的公式，可得到函數(shù)由曲線y=sinx的圖象經(jīng)變換的過(guò)程．
（2）根據(jù)（1）得到的表示式代入化簡(jiǎn)，得g（x）=2|sin2x|．因此不難由正弦函數(shù)的奇偶性，證出g（x）是偶函數(shù)，再結(jié)合正弦曲線的形狀，可得g（x）的最小正周期．
（3）注意到函數(shù)g（x）的最小正周期是

π

2

，只需研究g（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的單調(diào)性和最值，再結(jié)合函數(shù)的周期性，即可得到函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間和值域．

解答：解（1）∵f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx-1=

3

sin2x-cos2x=2（sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

），
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）．
∴函數(shù)f（x）的圖象可由y=sinx的圖象按如下方式變換得到：
①將函數(shù)的y=sinx圖象向右平移

π

6

個(gè)單位，得到函數(shù)y=sin（x-

π

6

）的圖象；
②將函數(shù)y=sin（x-

π

6

）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

2

倍（縱坐標(biāo)不變），
得到函數(shù)y=sin（2x-

π

6

）的圖象； 
③將函數(shù)y=sin（2x-

π

6

）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），
得到函數(shù)f（x）=2sin（2x-

π

6

）的圖象．
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x-

π

6

），x∈R
∴g（x）=

1

2

|f（x+

π

12

）|+

1

2

|f（x+

7π

12

）|=

1

2

|2sin2x|+

1

2

|2sin（2x+π）|=2|sin2x|．
又對(duì)任意x∈R，有g(shù)（-x）=2|sin（-2x）|=2|sin2x|=g（x），
∴函數(shù)g（x）是偶函數(shù)．
∵函數(shù)y=2sin2x的最小正周期是π，
∴結(jié)合函數(shù)圖象可知，函數(shù)g（x）=2|sin2x|的最小正周期是T=

π

2

．
（3）先求函數(shù)g（x）在一個(gè)周期[0，

π

2

]內(nèi)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)值的取值范圍．
當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x∈[0，π]，此時(shí)g（x）=2sin2x．
易知，此時(shí)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[0，

π

4

]，單調(diào)減區(qū)間是[

π

4

，

π

2

]；
函數(shù)的取值范圍是g（x）∈[0，2]．
因此，由周期函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)g（x）=2|sin2x|的單調(diào)增區(qū)間是[

1

2

kπ，

π

4

+

1

2

kπ]；
單調(diào)減區(qū)間是[

π

4

+

1

2

kπ，

π

2

1

2

kπ]，其中k∈Z．函數(shù)的g（x）值域是[0，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)特殊三角函數(shù)式為例，叫我們求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與值域，著重考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．