Question

19．已知圓C：x²+y²-2x-8y+13=0，直線l：ax+y-1=0（a∈R）
（Ⅰ）若直線l被圓C截得的弦長為$2\sqrt{3}$，求直線l的方程；
（Ⅱ）若a=2，P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C的切線，A，B是切點(diǎn)，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓C的圓心和半徑，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求出a的值，從而求出直線方程即可；
（Ⅱ）求出直線l上的點(diǎn)向圓C引的切線長的最小值，切線長最小時(shí)，四邊形PACB的面積最�。�由此能求出四邊形PACB面積的最小值．

解答 解：（Ⅰ）圓C：x²+y²-2x-8y+13=0，即（x-1）²+（y-4）²=4，
故圓心是（1，4），半徑r=2，
故（1，4）到直線ax+y-1=0的距離d=$\frac{|a+4-1|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\sqrt{{r}^{2}-3}$=1，
解得：a=-$\frac{4}{3}$，
故直線l：4x-3y+3=0；
（Ⅱ）a=2時(shí)，直線l：2x+y-1=0，
圓心C（1，4）到直線l距離d=$\frac{|2+4-1|}{\sqrt{4+1}}$=$\sqrt{5}$，
∴直線l上的點(diǎn)向圓C引的切線長的最小值是$\sqrt{5-4}$=1，
切線長最小時(shí)，四邊形PACB的面積最�。�
∴四邊形PACB面積的最小值是S_min=2×（$\frac{1}{2}$×2×1）=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形面積的最小值的求法，考查直線和圓的基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．