Question

已知函數(shù)f（x）=x²+px+q和g（x）=x+

4

x

都是定義在區(qū)間A=[1，

5

2

]上的函數(shù)．如果?x∈A，?x₀∈A使得f（x）≥f（x₀），g（x）≥g（x₀），且f（x₀）=g（x₀），則y=f（x）在區(qū)間A上的最大值等于

 

．

Answer 1

分析：由已知很容易得到函數(shù)g（x）=x+

4

x

 在區(qū)間[1，

5

2

]上的最小值為g（2）=4，于是函數(shù)f（x）=x²+px+q也在x=2處取到最小值f（2），下面只需代入數(shù)值即可求解．

解答：解：由已知函數(shù)f（x）=x²+px+q和g（x）=x+

4

x

在區(qū)間[1，

5

2

]上都有最小值f（x₀），g（x₀），
又因為g（x）=x+

4

x

 在區(qū)間[1，

5

2

]上的最小值為g（2）=4，
f（x）_min=f（2）=g（2）=4，
所以得：

- p 2 =2 4+2p+q=4

，
即：

p=-4 q=8

所以得：f（x）=x²-4x+8≤f（1）=5．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求解函數(shù)在區(qū)間上最值的方法，考查二次函數(shù)，對勾函數(shù)等函數(shù)型的性質(zhì)；考查函數(shù)與方程，轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法．