Question

16．已知雙曲線C的一個焦點與拋物線${C_1}：{y^2}=-16x$的焦點重合，且其離心率為2．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求雙曲線C的漸近線與拋物線C₁的準線所圍成三角形的面積．

Answer 1

分析 （1）$c=4，\frac{c}{4}=2$，可得a²=4，b²=12，即可求雙曲線C的方程；
（2）雙曲線C的漸近線方程y=±$\sqrt{3}$x與拋物線C₁的準線x=4，聯(lián)立得交點坐標求雙曲線C的漸近線與拋物線C₁的準線所圍成三角形的面積．

解答 解：（1）$c=4，\frac{c}{4}=2$．∴a²=4，b²=12，雙曲線C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1，
（2）雙曲線C的漸近線方程y=±$\sqrt{3}$x與拋物線C₁的準線x=4，聯(lián)立得交點坐標為$（4，4\sqrt{3}），（4，-4\sqrt{3}）$，
所以三角形的面積為$S=16\sqrt{3}$．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質，考查拋物線的性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．