Question

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=acosϕ\\ y=bsinϕ\end{array}\right.$（a＞b＞0，ϕ為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₂是圓心在極軸上，且經(jīng)過極點(diǎn)的圓．已知曲線C₁上的點(diǎn)$M（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$對應(yīng)的參數(shù)$ϕ=\frac{π}{3}$，射線$θ=\frac{π}{3}$與曲線C₂交于點(diǎn)$D（{1，\frac{π}{3}}）$．
（Ⅰ）求曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)A（ρ₁，θ），$B（{{ρ_2}，θ+\frac{π}{2}}）$在曲線C₁上，求$\frac{1}{ρ_1^2}+\frac{1}{ρ_2^2}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將$M（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$及對應(yīng)的參數(shù)$φ=\frac{π}{3}$，代入$\left\{\begin{array}{l}x=acosφ\\ y=bsinφ\end{array}\right.$，求出曲線C₁的方程，設(shè)圓C₂的半徑為R，由題意，圓C₂的方程為ρ=2Rcosθ，（或（x-R）²+y²=R²）．由此能求出曲線C₂的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）由點(diǎn)A（ρ₁，θ），$B（{{ρ_2}，θ+\frac{π}{2}}）$在曲線C₁上，能求出$\frac{1}{ρ_1^2}+\frac{1}{ρ_2^2}$的值．

解答 解：（Ⅰ）將$M（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$及對應(yīng)的參數(shù)$φ=\frac{π}{3}$，代入$\left\{\begin{array}{l}x=acosφ\\ y=bsinφ\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}1=acos\frac{π}{3}\\ \frac{{\sqrt{3}}}{2}=bsin\frac{π}{3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\end{array}\right.$，
所以曲線C₁的方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=sinφ\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），或$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
設(shè)圓C₂的半徑為R，由題意，圓C₂的方程為ρ=2Rcosθ，（或（x-R）²+y²=R²）．
將點(diǎn)$D（{1，\frac{π}{3}}）$代入ρ=2Rcosθ，得$1=2Rcos\frac{π}{3}$，即R=1．
（或由$D（{1，\frac{π}{3}}）$，得$D（{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，代入（x-R）²+y²=R²，得R=1），
所以曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+y²=1．
（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)A（ρ₁，θ），$B（{{ρ_2}，θ+\frac{π}{2}}）$在曲線C₁上，
所以$\frac{{ρ_1^2{{cos}^2}θ}}{4}+ρ_1^2{sin^2}θ=1$，$\frac{{ρ_2^2{{sin}^2}θ}}{4}+$$ρ_2^2{cos^2}θ=1$，
所以$\frac{1}{ρ_1^2}+\frac{1}{ρ_2^2}$=$（{\frac{{{{cos}^2}θ}}{4}+{{sin}^2}θ}）$$+（{\frac{{{{sin}^2}θ}}{4}+{{cos}^2}θ}）=\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查曲線的直角坐標(biāo)方程、代數(shù)的和的求法，考查極坐標(biāo)、直角坐標(biāo)的互化，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．