Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為.過(guò)作直線交橢圓于，過(guò)作直線交橢圓于，且垂直于點(diǎn).

(Ⅰ)證明：點(diǎn)在橢圓內(nèi)部；

(Ⅱ)求四邊形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】分析：

(Ⅰ)由可求得，從而橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，再由已知求出點(diǎn)軌跡方程為，而此圓在題設(shè)橢圓內(nèi)部，因此可證P點(diǎn)在橢圓內(nèi)部；

(Ⅱ)分類討論，當(dāng)斜率不存在時(shí)，可求出四邊形ABCD的面積，同理當(dāng)斜率不0時(shí)，

與剛才一樣，當(dāng)斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)方程為，這樣就有方程為，設(shè)，利用圓錐曲線中的弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)，同理可得弦長(zhǎng)，于是可得面積為的函數(shù)，利用函數(shù)的知識(shí)可求得的最小值，從而得出結(jié)論.

詳解：

(Ⅰ)由題意得,故,所以橢圓方程為.

由于分別為過(guò)兩焦點(diǎn), 且垂直相交于點(diǎn),則的軌跡為以為直徑的圓，

即的軌跡方程為,

又因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)在橢圓內(nèi)部.

(Ⅱ)①當(dāng)斜率不存在時(shí),直線的方程為, 此時(shí)直線的方程為,

此時(shí)四邊形的面積為.

同時(shí)當(dāng)斜率為0時(shí),此時(shí)的斜率不存在,易得.

②當(dāng)斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線方程為,直線方程為,

設(shè),聯(lián)立，消去整理得,

所以,

所以.

同理得

則

令，則

即當(dāng)，即時(shí)，

綜合上式①②可得，當(dāng)時(shí)， .

求最值的其它方法: ,令,得,

因?yàn)?/span>,當(dāng)時(shí)， ,且是以為自變量的增函數(shù)，所以.

綜上可知, . 即四邊形面積的最小值為.

方法二:①當(dāng)斜率為0,此時(shí)直線軸,此時(shí)四邊形的面積為.

同時(shí)當(dāng)斜率為0時(shí)，此時(shí)軸，易得.

②當(dāng)斜率存在且不為0時(shí),設(shè)直線方程為,直線方程為,

設(shè)，聯(lián)立,消去整理得,

所以,

所以.

同理得

則

下同解法一.