Question

已知函數f（x）的定義域為R，且同時滿足：①函數f（x）的圖象左移1個單位長度后所得圖象的對應函數為偶函數；②對任意大于1的不等實數a、b，總有

f(a)-f(b)

a-b

＞0成立．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）設g（x）=

1

f(x)

+

1

2-x

，如果f（0）=1，判斷函數g（x）是否有負零點，并說明理由；
（Ⅲ）如果x₁＜0，x₂＞0且x₁+x₂+2＜0，比較f（-x₁）與f（-x₂）的大小，并簡述你的理由．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數的零點

專題：函數的性質及應用

分析：本題考查（Ⅰ）利用已知的單調性和對稱性，得到函數f（x）的單調區(qū)間；（Ⅱ）利用反證法，通過反證假設推導出與題設矛盾，從而得到函數g（x）沒有負零點；（Ⅲ）通過函數的對稱關系和單調性，比較出f（-x₁）與f（-x₂）的大小．

解答： 解：（Ⅰ）由條件①得，f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
由條件②得，a＞b＞1時，f（a）＞f（b）恒成立；
b＞a＞1時，f（b）＞f（a）恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上單調遞增，
又∵f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
∴f（x）在（-∞，1）上單調遞減．
綜上所述，f（x）單調遞增區(qū)間為（1，+∞），
單調遞減區(qū)間為（-∞，1）．
（Ⅱ）若g（x）有負零點x₀，則g（x）=0有負實根x₀，
于是g（x₀）=

1

f(x0)

+

1

2-x0

=0，
∴f（x₀）=x₀-2．
∵f（0）=1，f（x）在（-∞，1）上單調遞減，
∴f（x₀）＞1．
∴x₀-2＞1，即x₀＞3，與x₀＜0矛盾，
所以g（x）沒有負零點．
（Ⅲ）設A（m，f（m）），B（n，f（n））為f（x）上關于直線x=1對稱的任意兩點，
則

m+n

2

=1，f（m）=f（n）．
∴m=2-n，
∴f（m）=f（2-n）=f（n），
∴f（-x₂）=f（2+x₂）．
∵x₁＜0，x₂＞0且x₁+x₂+2＜0，
∴2＜x₂+2＜-x₁，
∵f（x）在（1，+∞）上單調遞增，
∴f（-x₁）＞f（2+x₂）=f（-x₂），
即f（-x₁）＞f（-x₂）．

點評：本題考查了函數的單調性、奇偶性和對稱性，本題有一定的能力要求，計算量適中，屬于中檔題．