Question

19．已知拋物線y²=4x的焦點為F，過焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，O為坐標原點，若|AB|=6，則△AOB的面積為（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． $2\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 求得焦點坐標，將直線方程代入拋物線方程，利用拋物線的焦點弦公式求得k的值，則S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|，即可求得△AOB的面積．

解答 解：根據(jù)題意，拋物線y²=4x的焦點為F（1，0）．
設直線AB的斜率為k，可得直線AB的方程為y=k（x-1），設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x，得y²-$\frac{4}{k}$y-4=0，
y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4．則x₁+x₂=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{k}$+2=$\frac{4}{{k}^{2}}$+2，
丨AB丨=x₁+x₂+p=$\frac{4}{{k}^{2}}$+2+2=6，則k=±$\sqrt{2}$，
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=2$\sqrt{6}$，
S_△AOB=S_△AOF+S_△BOF=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×1×2$\sqrt{6}$=$\sqrt{6}$，
△AOB的面積$\sqrt{6}$，
故選A．

點評 本題考查拋物線的焦點弦公式，直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，三角形的面積公式，考查計算能力，屬于中檔題．