Question

10．已知程序框圖如圖所示，其功能是求一個(gè)數(shù)列{a_n}的前10項(xiàng)和，則數(shù)列{a_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式a_n=$\frac{1}{2n}$，數(shù)列{a_n•a_n+1}的前2016項(xiàng)和為$\frac{504}{2017}$．

Answer 1

分析 執(zhí)行程序框圖，寫出每次循環(huán)得到的S，n，k的值，觀察數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和的變化規(guī)律，即可求解．利用裂項(xiàng)法即可求和．

解答 解：執(zhí)行程序框圖，有
S=0．n=2，k=1
不滿足k≤10第1次執(zhí)行循環(huán)體，S=$\frac{1}{2}$，n=4，k=2
不滿足k≤10第2次執(zhí)行循環(huán)體，S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$，n=6，k=3
不滿足k≤10第3次執(zhí)行循環(huán)體，S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$，n=8，k=4
不滿足k≤10第3次執(zhí)行循環(huán)體，S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{8}$，n=10，k=5
…
綜上可知，程序框圖的功能是求一個(gè)數(shù)列{a_n}的前10項(xiàng)和，S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{20}$
故數(shù)列{a_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式a_n=$\frac{1}{2n}$．
則a_n•a_n+1=$\frac{1}{2n}•\frac{1}{2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
則數(shù)列{a_n•a_n+1}的前2016項(xiàng)和S=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$）=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2017}$）=$\frac{1}{4}×\frac{2016}{2017}$=$\frac{504}{2017}$
故答案為：$\frac{1}{2n}$，$\frac{504}{2017}$．

點(diǎn)評 本題主要考察了程序框圖和算法，數(shù)列通項(xiàng)公式和和的求法，根據(jù)程序框圖求出通項(xiàng)公式以及利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和是解決本題的關(guān)鍵．