Question

20．四棱錐P-ABCD中，ABCD為矩形，AD=2$\sqrt{3}$，AB=2，PA=PD，∠APD=$\frac{π}{2}$，且平面PAD⊥平面ABCD．
（1）證明：PA⊥PC；
（2）求四棱錐P-ABCD的外接球的體積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AD的中點(diǎn)為E，證明PA⊥平面PCD，即可證明PA⊥PC；
（2）連接AC交BD于F，球心O在底面的射影必為點(diǎn)F，取截面PEF，利用勾股定理求出球的半徑，即可求四棱錐P-ABCD的外接球的體積．

解答 證明：（1）設(shè)AD的中點(diǎn)為E，則
∵PA=PD，
∴PE⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PE⊥平面ABCD，
∵PA在平面ABCD內(nèi)的射影為AE，AE⊥CD，
∴PA⊥CD，
∵PA⊥PD，CD∩PD=D，
∴PA⊥平面PCD
∴PA⊥PC；
解：（2）連接AC交BD于F，球心O在底面的射影必為點(diǎn)F，取截面PEF，PE=$\sqrt{3}$，EF=1．
假設(shè)OF=x，則由OA²=x²+4=1+$（\sqrt{3}-x）^{2}$得x=0，
∴球的半徑為2，
∴四棱錐P-ABCD的外接球的體積為$\frac{4}{3}π•{2}^{3}$=$\frac{32}{3}π$．

點(diǎn)評 本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)，考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查四棱錐P-ABCD的外接球的體積，屬于中檔題．