Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為DD₁中點．
（1）求AA₁和BD₁所成的角的余弦值．；
（2）求證：BD₁∥平面ACM．

Answer 1

解：（1）設(shè)正方體的棱長為1，則∠D₁BB₁ 即為AA₁和BD₁所成的角．
Rt△D₁BB₁中，cos∠D₁BB₁===，即AA₁和BD₁所成的角的余弦值為 ．
（2）證明：設(shè)AC和 BD交與點O，又M為DD₁中點，則由正方體的性質(zhì)可得 OM 是三角形DBD₁ 的中位線，
∴OM∥BD₁ ．而 OM?平面ACM，BD₁ 不在平面ACM內(nèi)，故 BD₁∥平面ACM．
分析：（1）設(shè)正方體的棱長為1，由正方體的性質(zhì)可得∠D₁BB₁ 即為AA₁和BD₁所成的角，Rt△D₁BB₁中，根據(jù)cos∠D₁BB₁=，
運算求得結(jié)果．
（2）設(shè)AC和 BD交與點O，又M為DD₁中點，則由正方體的性質(zhì)可得 OM 是三角形DBD₁ 的中位線，則有OM∥BD₁，由此證得
BD₁∥平面ACM．
點評：本題考查異面直線所成的角的定義和求法，直線和平面平行的判定方法，利用正方體的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．