Question

3．非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，則向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$夾角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 對式子$\sqrt{3}|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$兩邊分別平方便可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，${\overrightarrow}^{2}=2{\overrightarrow{a}}^{2}$，可設(shè)向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$與$\overrightarrow-\overrightarrow{a}$的夾角為θ，這樣根據(jù)向量夾角的余弦公式即可求得$cosθ=\frac{1}{3}$．

解答 解：$\sqrt{3}|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$；
∴$3{\overrightarrow{a}}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$$+{\overrightarrow}^{2}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0，{\overrightarrow}^{2}=2{\overrightarrow{a}}^{2}$；
設(shè)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$與$\overrightarrow-\overrightarrow{a}$的夾角為θ，則：$cosθ=\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow||\overrightarrow-\overrightarrow{a}|}=\frac{{\overrightarrow}^{2}-{\overrightarrow{a}}^{2}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}}$=$\frac{{\overrightarrow}^{2}-{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}}=\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{3{\overrightarrow{a}}^{2}}=\frac{1}{3}$．
故選A．

點評 考查向量數(shù)量積的運算，以及向量夾角的余弦公式．