Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）證明：對于定義域中任意的x均有f（1+x）+f（1-x）=2；
（Ⅱ）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

證明：（Ⅰ）=，
即對于定義域中任意的x均有f（1+x）+f（1-x）=2．
（Ⅱ）設(shè)x₁，x₂是（1，+∞）上的兩個(gè)任意實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，
=．
因?yàn)?＜x₁＜x₂，所以x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₁-x₂＜0，
所以f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
所以f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
分析：（1）將f（1+x）和f（1-x）代入進(jìn)行化簡；
（2）要求用定義證明，所以按步驟：取值-作差-化簡-判號-結(jié)論證明即可．
點(diǎn)評：本題考察函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題，題目比較常規(guī)，所以按常規(guī)思路解決就很好．