Question

4．△ABC的外接圓半徑為1，圓心點(diǎn)為O，$\overline{AB}+\overline{AC}+2\overline{OA}=\overline O，{\overline{OA}^2}={\overline{AB}^2}$，則$\overline{CA}•\overline{CB}$=（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 根據(jù)圓的性質(zhì)和向量的平行四邊形法則可求出|$\overrightarrow{CA}$|和向量$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$的夾角．結(jié)合向量數(shù)量積的定義進(jìn)行求解即可．

解答 解作直徑AD，連結(jié)BD，CD．則2$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{DA}$．
∵2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴四邊形ABDC是平行四邊形，
∵AD是直徑，∴∠ACD=90°．
∴四邊形ABDC是矩形，
∵|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{AB}$|=1，∴△ABO是等邊三角形，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°，AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}=\sqrt{3}$．
∴$\overline{CA}•\overline{CB}$=|$\overrightarrow{CA}$||$\overrightarrow{CB}$|cos30°=$\sqrt{3}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，利用圓的性質(zhì)得出AC的長與向量的夾角是關(guān)鍵．注意要利用數(shù)形結(jié)合比較方便．