Question

10．若a_n為（1+x）ⁿ的展開式中的x²項的系數，則$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2{a}_{n}}{{n}^{2}+1}$=1．

Answer 1

分析 根據二項式展開式的通項公式，求出含x²項的系數，再代人求極限值$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2{a}_{n}}{{n}^{2}+1}$即可．

解答 解：∵（1+x）ⁿ的展開式的通項公式為T_n=${C}_{n}^{r}$•x^r，
當r=2時含x²項的系數為${C}_{n}^{2}$，
∴a_n=${C}_{n}^{2}$=$\frac{1}{2}$n（n-1），
∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2{a}_{n}}{{n}^{2}+1}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n（n-1）}{{n}^{2}+1}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{{n}^{2}}}$=1．
故答案為：1．

點評 本題考查二項式定理的應用問題，也考查了極限的定義與求值問題，是基礎題目．