Question

已知P是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且P與橢圓長(zhǎng)軸兩個(gè)頂點(diǎn)連線的斜率之積為-

1

2

，則橢圓的離心率為（　�。�

• A．

  3

  2

• B．

  2

  2

• C．

  1

  2

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)橢圓長(zhǎng)軸兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-a，0），（a，0），P與橢圓長(zhǎng)軸兩個(gè)頂點(diǎn)連線的斜率之積為-

1

2

，可得方程，再利用點(diǎn)P在橢圓上，即可求得橢圓的離心率．

解答：解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則
∵橢圓長(zhǎng)軸兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-a，0），（a，0），P與橢圓長(zhǎng)軸兩個(gè)頂點(diǎn)連線的斜率之積為-

1

2

，
∴

y

x+a

×

y

x-a

=-

1

2

∴-2y²=x²-a²①
∵

x2

a2

+

y2

b2

=1
∴x2= a2-

a2y2

b2

②
由①②可得a²=2b²
∴e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

∴e=

2

2

∴橢圓的離心率為

2

2

故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查橢圓的離心率，解題的關(guān)鍵是利用P與橢圓長(zhǎng)軸兩個(gè)頂點(diǎn)連線的斜率之積為-

1

2

，尋找?guī)缀瘟恐�間的關(guān)系．