Question

（2014•郴州三模）設集合A⊆R，如果x0∈R滿足：對任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，那么稱x0為集合A的一個聚點．則在下列集合中：

（1）Z+∪Z﹣；

（2）R+∪R﹣；

（3）{x|x=，n∈N*}；

（4）{x|x=，n∈N*}．

其中以0為聚點的集合有（ ）

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

 

Answer 1

B

【解析】

試題分析：根據集合聚點的新定義，我們逐一分析四個集合中元素的性質，并判斷是否滿足集合聚點的定義，進而得到答案．

【解析】
（1）對于某個a＜1，比如a=0.5，此時對任意的x∈Z+∪Z﹣，都有|x﹣0|=0或者|x﹣0|≥1，也就是說不可能0＜|x﹣0|＜0.5，從而0不是Z+∪Z﹣的聚點；

（2）集合{x|x∈R，x≠0}，對任意的a，都存在x=（實際上任意比a小得數(shù)都可以），使得0＜|x|=＜a，

∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚點；

（3）集合{x|x=，n∈N*}中的元素是極限為0的數(shù)列，對于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a，

∴0是集合 {x|x=，n∈N*}的聚點；

（4）中，集合{x|x=，n∈N*}中的元素是極限為1的數(shù)列，除了第一項0之外，其余的都至少比0大，

∴在a＜的時候，不存在滿足得0＜|x|＜a的x，

∴0不是集合{x|x=，n∈N*}的聚點；

故選：B