Question

14．在如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABC，DB∥EA，AC⊥BC，且BC=BD=3，AE=2，AC=3$\sqrt{2}$，AF=2FB
（1）求證：CF⊥EF；
（2）求二面角D-CE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）求出AB=3$\sqrt{3}$，F(xiàn)B=$\sqrt{3}$，從而推導(dǎo)出CF⊥AB，EA⊥平面ABC，由此能證明CF⊥EA．
（Ⅱ）連結(jié)DF，推導(dǎo)出DF⊥EF，DF⊥CF，從而DF⊥平面EFC，進(jìn)而DF⊥EC，過D作DG⊥EC于G，則EC⊥平面DFG，連結(jié)FG，則EC⊥FG，∠DGF是二面角D-CE-F的平面角，由此能求出二面角D-CE-F的余弦值．

解答 證明：（1）∵AC=3$\sqrt{2}$，BC=3，AC⊥BC，∴AB=3$\sqrt{3}$，
∵AF=2FB，∴FB=$\sqrt{3}$，
又cosB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{3\sqrt{3}}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴CF²=BC²+BF²-2BC×BF×cosB=6，
∵CF²+BF²=BC²，∴CF⊥AB，
∵EA⊥平面ABC，CF?平面ABC，∴CF⊥EA．
解：（Ⅱ）連結(jié)DF，在Rt△EAF中，EF=$\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{4+12}$=4，
在Rt△DBF中，DF=$\sqrt{B{F}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{3+9}$=2$\sqrt{3}$，
在直角梯形EABD中，ED=$\sqrt{A{B}^{2}+（BD-AF）^{2}}$=$\sqrt{27+（3-2）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∵ED²=EF²+DF²，∴DF⊥EF，
∴CF⊥平面EABD，∴DF⊥CF，
∵EF∩CF=F，∴DF⊥平面EFC，∴DF⊥EC，
過D作DG⊥EC于G，則EC⊥平面DFG，
連結(jié)FG，則EC⊥FG，
∴∠DGF是二面角D-CE-F的平面角，
在Rt△EFC中，F(xiàn)G=$\frac{FC×FE}{EC}$=$\frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{22}}$，
在Rt△DFG中，cos$∠DGF=\frac{FG}{DG}$=$\frac{2\sqrt{15}}{15}$，
∴二面角D-CE-F的余弦值為$\frac{2\sqrt{15}}{15}$．

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，涉及到空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．