在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AC=BC=AA1=2，D為側(cè)棱AA1的中點(diǎn)．
（1）求異面直線DC1，B1C所成角的余弦值；
（2）求二面角B1-DC-C1的平面角的余弦值．

解：（1）如圖所示，以C為原點(diǎn)，CA、CB、CC1為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系
C-xyz．
則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（2，0，1）．
所以=（-2，0，1），=（0，-2，-2）．
所以cos＜＞===-．
即異面直線DC1與B1C所成角的余弦值為．
（2）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/3653.png' />=（0，2，0），=（2，0，0），=（0，0，2），
所以•=0，•=0，
所以為平面ACC1A1的一個(gè)法向量．
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/24333.png' />=（0，-2，-2），=（2，0，1），
設(shè)平面B1DC1的一個(gè)法向量為n，n=（x，y，z）．
由，得
令x=1，則y=2，z=-2，n=（1，2，-2）．
所以cos＜n，＞===．
所以二面角B1-DC-C1的余弦值為．
分析：（1）以C為原點(diǎn)，CA、CB、CC1為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出兩個(gè)向量的方向向量，根據(jù)兩個(gè)向量所成的角得到兩條異面直線所成的角．
（2）先求兩個(gè)平面的法向量，在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，有一個(gè)平面的法向量是已知的，只要寫出向量的表示形式就可以，另一個(gè)平面的向量需要求出，根據(jù)兩個(gè)法向量所成的角得到結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用空間向量解決幾何體中的夾角問(wèn)題，包括兩條異面直線的夾角和兩個(gè)平面的夾角，本題解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，已知AA′=4，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CD⊥AB′；
（Ⅱ）求二面角A′-AB′-C的大��；
（Ⅲ）求直線B′D與平面AB′C所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•瀘州一模）如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AB=BC=CA=a，AA′=
2
a，則AB′與側(cè)面AC′所成角的大小為
30°
30°
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AA′=AB=BC=1，∠ABC=90°．棱A′C′上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=a （a為常數(shù)）．
（Ⅰ）在平面ABC內(nèi)確定一條直線，使該直線與直線CE垂直；
（Ⅱ）判斷三棱錐B-CEF的體積是否為定值．若是定值，求出這個(gè)三棱錐的體積；若不是定值，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠BAC=90°，AB=BB′=1，直線B′C與平面ABC成30°角．
（1）求證：A′B⊥面AB′C；
（2）求二面角B-B′C-A的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA′=2，
（1）欲過(guò)點(diǎn)A′作一截面與平面AC'D平行，問(wèn)應(yīng)當(dāng)怎樣畫線，寫出作法，并說(shuō)明理由；
（2）求異面直線BA′與 C′D所成角的余弦值．

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