Question

已知曲線(xiàn)f（x）=x³+x²+x+3在x=-1處的切線(xiàn)恰好與拋物線(xiàn)y=2px²相切，則過(guò)該拋物線(xiàn)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交得的線(xiàn)段長(zhǎng)為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   8
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：為求斜率，先求導(dǎo)函數(shù)，得到切線(xiàn)方程，從而可求拋物線(xiàn)方程，進(jìn)而求出線(xiàn)段長(zhǎng)．
解答：∵f（x）=x³+x²+x+3，
∴f′（x）=3x²+2x+1，
∴f′（-1）=2，
由已知可得k=f′（-1）=2，
∵切點(diǎn)為（-1，2），∴切線(xiàn)方程為y-2=2（x+1），即y=2x+4．
設(shè)此直線(xiàn)與拋物線(xiàn)切于點(diǎn)（x₀，2px₀²），
則k=4px₀=2，得px₀=，
∵2x₀+4=2px₀²，解得x₀=-4，p=-，
∴拋物線(xiàn)的方程為x²=-4y，
其過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交得的線(xiàn)段長(zhǎng)度為4，
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程，要求過(guò)曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，一般先求出該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值（斜率），再用點(diǎn)斜式寫(xiě)出后化簡(jiǎn)，同時(shí)我們還可以據(jù)此寫(xiě)出該點(diǎn)處的法線(xiàn)方程，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．考查了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．