已知曲線f（x）=x3+x2+x+3在x=-1處的切線恰好與拋物線y=2px2相切，則過該拋物線焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的直線與拋物線相交得的線段長為


  1. A.
    數(shù)學(xué)公式
  2. B.
    數(shù)學(xué)公式
  3. C.
    8
  4. D.
    4
D
分析：為求斜率，先求導(dǎo)函數(shù)，得到切線方程，從而可求拋物線方程，進(jìn)而求出線段長．
解答：∵f（x）=x3+x2+x+3，
∴f′（x）=3x2+2x+1，
∴f′（-1）=2，
由已知可得k=f′（-1）=2，
∵切點(diǎn)為（-1，2），∴切線方程為y-2=2（x+1），即y=2x+4．
設(shè)此直線與拋物線切于點(diǎn)（x0，2px02），
則k=4px0=2，得px0=，
∵2x0+4=2px02，解得x0=-4，p=-，
∴拋物線的方程為x2=-4y，
其過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的直線與拋物線相交得的線段長度為4，
故選D．
點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，要求過曲線上一點(diǎn)處的切線方程，一般先求出該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值（斜率），再用點(diǎn)斜式寫出后化簡，同時(shí)我們還可以據(jù)此寫出該點(diǎn)處的法線方程，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．考查了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設(shè)h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線f（x）=
x-1
在點(diǎn)A（2，1）處的切線為直線l
（1）求切線l的方程；
（2）求切線l，x軸及曲線所圍成的封閉圖形的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+5，若曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為3，且當(dāng)x=
23
時(shí)，y=f（x）有極值．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線f（x）=x3+bx2+cx在點(diǎn)A（-1，f（-1）），B（3，f（3））處的切線互相平行，且函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)為x=0．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)b，c的值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f(x)，x∈[-
12
，3]的圖象與直線y=m恰有三個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設(shè)h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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