已知函數(shù)f(x)=2acos2x+bsinxcosx，且f(0)=2，f(
π
3
)=
1
2
+
3
2
．
（1）求f（x）的最大值與最小值；
（2）若α-β≠kπ，k∈Z，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．
分析：（1）由f（0）=2 求得a值，由f(
π
3
)=
1
2
a+
3
4
b，得b=2，化簡f（x）=
2
sin(2x+
π
4
)+1，可得最值．
 （2）f（α）=f（β），可得2α+
π
4
=2kπ+(2β+
π
4
)或2α+
π
4
=2kπ+π-(2β+
π
4
)，得到α+β的值，從而求得tan（α+β）的值．
解答：解：（1）由f（0）=2a=2，得a=1，由f(
π
3
)=
1
2
a+
3
4
b，得b=2，
∴f（x）=2cos2x+2sinxcosx=sin2x+cos2x+1=
2
sin(2x+
π
4
)+1，
∴f（x）的最大值是
2
+1，最小值是1-
2
．
（2）∵f（α）=f（β），∴sin(2α+
π
4
)=sin(2β+
π
4
)．
∴2α+
π
4
=2kπ+(2β+
π
4
)或2α+
π
4
=2kπ+π-(2β+
π
4
)，
∴α-β=kπ(舍去)或α+β=kπ+
π
4
，k∈Z，∴tan(α+β)=tan(kπ+
π
4
)=1．
點(diǎn)評：本題考查兩角和的正弦、正切公式的應(yīng)用，以及正弦函數(shù)的值域，得到2α+
π
4
=2kπ+(2β+
π
4
)或2α+
π
4
=2kπ+π-(2β+
π
4
)是解題的難點(diǎn)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負(fù)數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點(diǎn)（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點(diǎn)；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實(shí)數(shù)x均成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當(dāng)x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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同步練習(xí)冊答案