Question

（本題滿分12分）
已知函數(shù)
（1）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a>0時，試討論這兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)．

Answer 1

（1）a>1
（2）有且僅有兩個交點(diǎn)

（1）
若使存在單調(diào)遞減區(qū)間，則上有解．……1分
而當(dāng)
問題轉(zhuǎn)化為上有解，故a大于函數(shù)上的最小值．
………………3分
又上的最小值為-1，所以a>1．……4分
（2）令
函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)即為函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)．……5分

令解得
隨著x的變化，的變化情況如下表：

	-	0	+
	單調(diào)遞減	極（最）小值2+lna	單調(diào)遞增

                                                                     …………7分
①當(dāng)恒大于0，函數(shù)無零點(diǎn)．……8分
②當(dāng)由上表，函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)．
……9分
③顯然
內(nèi)單調(diào)遞減，
所以內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)                                                      …………10分
當(dāng)
由指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)增長速度的快慢，知存在
使得
從而
因而
又內(nèi)單調(diào)遞增，上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，
所以內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)．  …………11分
因此，有且僅有兩個零點(diǎn)．
綜上，的圖象無交點(diǎn)；當(dāng)的圖象有且僅有一個交點(diǎn)；的圖像有且僅有兩個交點(diǎn)．……12分