Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²+（a-1）x+1在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，1）上是減函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）的最小值為-3，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)是二次函數(shù)，且在對稱軸兩側(cè)單調(diào)性相反，由此求出a的取值范圍；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的最值，求出a的值，從而寫出f（x）的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，即可寫出切線方程．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²+（a-1）x+1是二次函數(shù)，且在區(qū)間$（\frac{1}{2}，1）$上是減函數(shù)，
所以對稱軸x=$-\frac{a-1}{2}≥1$，解得a≤-1；…（4分）
（2）函數(shù)y=f（x）的最小值為-3，所以$\frac{{4-{{（a-1）}^2}}}{4}=-3$，
解得a=-3或a=5，
注意到a≤-1，所以取 a=-3；…（6分）
此時f（x）=x²-4x+1，f'（x）=2x-4，…（8分）
所以曲線在（1，f（1））處切線的斜率為k=f'（1）=2-4=-2，…（10分）
且f（1）=1-4+1=-2，
所以，所求切線的方程為y+2=-2（x-1），
即2x+y=0．…（12分）

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線問題，是綜合性題目．