Question

13．已知函數(shù)f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2cos²x+a-1（a∈R，a是常數(shù)）．
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）的最小值為-2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）和差化積公式、二倍角公式及輔助角公式，將f（x）化簡，求得f（x）的解析式，根據(jù)周期公式即可求得f（x）的最小正周期；
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，（k∈Z），即可解得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，根據(jù)正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)求得f（x）的最小值，代入即可求得a的值．

解答 解：（1）f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2cos²x+a-1，
=2sin2xcos$\frac{π}{6}$+cos2x+a，
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+a，
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π；           …..（4分）
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，（k∈Z），函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
解得：kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，（k∈Z），
故所求區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）；…..（8分）
（3）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
當2x+$\frac{π}{6}$$\frac{7π}{6}$，即x=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最小值．
∴2sin（2×$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$）+a=-2，
∴a=-1．      …..（13分）

點評 本題考查三角恒等變換公式，正弦函數(shù)圖象及簡單性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．