(2013•上海) 如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中,AB=2,AD=1,AA′=1.證明直線BC′平行于平面D′AC,并求直線BC′到平面D′AC的距離.
分析:建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面D′AC的一個(gè)法向量為
n
=(2,1,-2),再根據(jù)
n
BC′
=-0,可得 
n
BC′
,
可得直線BC′平行于平面D′AC.求出點(diǎn)B到平面D′AC的距離d=
|
n
CB
|
|
n
|
 的值,即為直線BC′到平面D′AC的距離.
解答:解:以D′A′所在的直線為x軸,以D′C′所在的直線為y軸,以D′D所在的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
則由題意可得,點(diǎn)A(1,0,1 )、B(1,2,1)、C(0,2,1)、C′(0,2,0)、D′(0,0,0).
設(shè)平面D′AC的一個(gè)法向量為
n
=(u,v,w),則由
n
D′A
,
n
D′C
,可得
n
D′A
=0
,
n
D′C
=0

D′A
=(1,0,1),
D′C
=(0,2,1),∴
u+w=0
2v+w=0
,解得
u=2v
w=-2v

令v=1,可得 u=2,w=-2,可得
n
=(2,1,-2).
由于
BC′
=(-1,0,-1),∴
n
BC′
=-0,故有 
n
BC′

再由BC′不在平面D′AC內(nèi),可得直線BC′平行于平面D′AC.
由于
CB
=(1,0,0),可得點(diǎn)B到平面D′AC的距離d=
|
n
CB
|
|
n
|
=
|2×1+1×0+(-2)×0|
22+12+(-2)2
=
2
3

故直線BC′到平面D′AC的距離為
2
3
點(diǎn)評(píng):本題主要考查利用向量法證明直線和平面平行,求直線到平面的距離的方法,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•上海)設(shè)常數(shù)a>0,若9x+
a2
x
≥a+1
對(duì)一切正實(shí)數(shù)x成立,則a的取值范圍為
[
1
5
,+∞)
[
1
5
,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•上海) 在xOy平面上,將兩個(gè)半圓。▁-1)2+y2=1(x≥1)和(x-3)2+y2=1(x≥3),兩條直線y=1和y=-1圍成的封閉圖形記為D,如圖中陰影部分,記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為Ω.過(guò)(0,y)(|y|≤1)作Ω的水平截面,所得截面積為4π
1-y2
+8π.試?yán)米婧阍、一個(gè)平放的圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體,得出Ω的體積值為
2+16π
2+16π

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•上海)若cosxcosy+sinxsiny=
1
2
,sin2x+sin2y=
2
3
,則sin(x+y)=
2
3
2
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•上海)函數(shù)f(x)=x2-1(x≥0)的反函數(shù)為f-1(x),則f-1(2)的值是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•上海)記橢圓
x2
4
+
ny2
4n+1
=1
圍成的區(qū)域(含邊界)為Ωn(n=1,2,…),當(dāng)點(diǎn)(x,y)分別在Ω1,Ω2,…上時(shí),x+y的最大值分別是M1,M2,…,則
lim
n→∞
Mn=( 。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案