Question

已知p：?x∈R,2x＞m(x²＋1)，q：?x₀∈R，＋2x₀－m－1＝0，且p∧q為真，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

－2≤m＜－1.

試題分析：2x＞m(x²＋1) 可化為mx²－2x＋m＜0.
所以若p：?x∈R, 2x＞m(x²＋1)為真，
則mx²－2x＋m＜0對任意的x∈R恒成立．
由此可得m的取值范圍.
若q：?x₀∈R，＋2x₀－m－1＝0為真，
則方程x²＋2x－m－1＝0有實根，由此可得m的取值范圍.
p∧q為真，則p、q 均為真命題，取m的公共部分便得m的取值范圍.
試題解析：2x＞m(x²＋1) 可化為mx²－2x＋m＜0.
若p：?x∈R, 2x＞m(x²＋1)為真，
則mx²－2x＋m＜0對任意的x∈R恒成立．
當m＝0時，不等式可化為－2x＜0，顯然不恒成立；
當m≠0時，有m＜0，Δ= 4－4m²＜0，∴m＜－1.
若q：?x₀∈R，＋2x₀－m－1＝0為真，
則方程x²＋2x－m－1＝0有實根，
∴Δ=4＋4(m＋1)≥0，∴m≥－2.
又p∧q為真，故p、q 均為真命題．
∴m＜－1且m≥－2，∴－2≤m＜－1.