Question

已知

a

=（sinωx，

3

sinωx），

b

=（sinωx，cosωx）（ω＞0），函數(shù)f（x）=

a

•

b

-

1

2

，且f（x）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運算,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先，根據(jù)輔助角公式，得到f(x)=sin(2ωx-

π

6

)，然后，結合周期公式求解即可；
（Ⅱ）直接結合正弦函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

a

•

b

-

1

2

=sin2ωx+

3

sinωxcosωx-

1

2

∴f(x)=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx-

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx
∴f(x)=sin(2ωx-

π

6

)…（4分）
∵函數(shù)f（x）的最小正周期為π，且ω＞0，
∴

2π

2ω

=π，解得ω=1…ks5u…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=sin(2x-

π

6

)．
∴欲求f（x）的增區(qū)間，
只需 -

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，…（8分）
解得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z…（10分）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z…（12分）

點評：本題重點考查了三角函數(shù)的基本圖象與性質(zhì)、三角恒等變換公式、輔助角公式等知識，屬于中檔題，也是近幾年高考的熱點問題．