Question

【題目】已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)．

（1）若l過點(diǎn)F，拋物線C在點(diǎn)P處的切線與在點(diǎn)Q處的切線交于點(diǎn)G．證明：點(diǎn)G在定直線上．

（2）若p＝2，點(diǎn)M在曲線y上，MP，MQ的中點(diǎn)均在拋物線C上，求△MPQ面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）設(shè)，，根據(jù)條件分別求出直線PG的方程，QG的方程，聯(lián)立可得，化簡得到點(diǎn)G在定直線上．

（2）設(shè)，表示出的面積．結(jié)合在曲線y上，即可求出面積的取值范圍．

（1）證明：易知，設(shè)，．

由題意可知直線l的斜率存在，故設(shè)其方程為．

由，得，所以．

由，得，，則，

直線PG的方程為，即①.

同理可得直線QG的方程為②.

聯(lián)立①②，可得．

因?yàn)?/span>，所以，故點(diǎn)G在定直線上．

（2）設(shè)，

，的中點(diǎn)分別為，．

因?yàn)?/span>，得中點(diǎn)均在拋物線上，

所以，為方程的解，

即方程的兩個不同的實(shí)根，

則，，

，即，

所以的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為.

則，

，

所以的面積．

由，得，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，

所以面積的取值范圍為．