Question

（2012•揚州模擬）已知函數(shù)f(x)=

3

2

x+ln(x-1)，設(shè)數(shù)列{a_n}同時滿足下列兩個條件：①an＞0(n∈N*)；②a_n+1=f'（a_n+1）．
（Ⅰ）試用a_n表示a_n+1；
（Ⅱ）記bn=a2n(n∈N*)，若數(shù)列{b_n}是遞減數(shù)列，求a₁的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用a_n+1=f'（a_n+1），可用a_n表示a_n+1；
（Ⅱ）先通過特殊性，猜想0＜a₁＜2，再用數(shù)學(xué)歸納法進行證明．

解答：解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)f′(x)=

3

2

+

1

x-1

，
∵a_n+1=f'（a_n+1），∴an+1=

3

2

+

1

an

．
（Ⅱ）a3=

3

2

+

1

a2

，a4=

3

2

+

1

a3

=

3

2

+

1

3 2 + 1 a2

=

3

2

+

2a2

3a2+2

，
令a₄＜a₂，得2

a

2 2

-3a2-2＞0，∴（2a₂+1）（a₂-2）＞0，
∵a₂＞0，∴a₂＞2，則

3

2

+

1

a1

＞2，得0＜a₁＜2．
以下證明：當(dāng)0＜a₁＜2時，a_2n+2＜a_2n，且a_2n＞2．
①當(dāng)n=1時，0＜a₁＜2，則a2=

3

2

+

1

a1

＞

3

2

+

1

2

=2，a4-a2=

3

2

+

1

a3

-a2=

3

2

+

1

3 2 + 1 a2

-a2=

13a2+6

2(3a2+2)

-a2=

-6 a 2 2 +9a2+6

2(3a2+2)

=-

3(2a2+1)(a2-2)

2(3a2+2)

＜0，∴a₄＜a₂．
②假設(shè)n=k（k∈N^*）時命題成立，即a_2k+2＜a_2k，且a_2k＞2，
當(dāng)n=k+1時，a2k+2=

3

2

+

1

a2k

＞

3

2

+

1

2

=2，a2k+2=

3

2

+

1

a2k+1

=

3

2

+

1

3 2 + 1 a2k

＞2a2k+4-a2k+2=

13a2k+2+6

2(3a2k+2+2)

-a2k+2=-

3(a2k+2+1)(a2k+2-2)

2(3a2k+2+2)

＜0
∴a_2k+4＜a_2k+2，即n=k+1時命題成立，
綜合①②，對于任意n∈N^*，a_2n+2＜a_2n，且a_2n＞2，從而數(shù)列{b_n}是遞減數(shù)列．
∴a₁的取值范圍為（0，2）．
說明：數(shù)學(xué)歸納法第②步也可用下面方法證明：a2k+4-a2k+2=

13a2k+2+6

2(3a2k+2+2)

-

13a2k+6

2(3a2k+2)

=

4(a2k+2-a2k)

(3a2k+2+2)(3a2k+2)

＜0

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查求參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是先猜后證，屬于中檔題．