【題目】已知,,…,是由()個整數(shù),,…,按任意次序排列而成的數(shù)列,數(shù)列滿足(),,,…,是,,…,按從大到小的順序排列而成的數(shù)列,記.
(1)證明:當(dāng)為正偶數(shù)時,不存在滿足()的數(shù)列.
(2)寫出(),并用含的式子表示.
(3)利用,證明:及.(參考:.)
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)證明見解析.
【解析】
(1)可用反證法證明,假設(shè)存在滿足的數(shù)列,由條件結(jié)合奇數(shù)、偶數(shù)的概念即可得證;(2)由題意可得,,再由累加法即可得到;
(3)由展開即可證得:
,再由排序定理:亂序之和不小于倒序之和.
(1)若(),
則有,于是.
當(dāng)為正偶數(shù)時,為大于1的正奇數(shù),故不為正整數(shù),
因為,,…,均為正整數(shù),
所以不存在滿足()的數(shù)列,
(2)().
因為,
于是
.
(3)先證.
①,
這里,(),
因為,,…,為從到按任意次序排列而成,
所以,,…,為從到個整數(shù)的集合,
從而,
于是由①,得,
因此,,
即.
再證.
由,
得
因為,
即,
所以,
即.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方體中,、分別是棱、的中點,、分別是線段與上的點,則與平面平行的直線有( )
A.0條B.1條C.2條D.無數(shù)條
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為常數(shù),且),且數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列.
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)若,當(dāng)時,求數(shù)列的前項和的最小值;
(3)若,問是否存在實數(shù),使得是遞增數(shù)列?若存在,求出的范圍;若不存在,說明理由.
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【題目】長軸長為的橢圓的中心在原點,其焦點,在軸上,拋物線的頂點在原點,對稱軸為軸,兩曲線在第一象限內(nèi)相交于點, 且,的面積為3.
(1)求橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點作直線分別與拋物線和橢圓交于,,若,求直線的斜率.
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【題目】如圖所示:湖面上甲、乙、丙三艘船沿著同一條直線航行,某一時刻,甲船在最前面的點處,乙船在中間點處,丙船在最后面的點處,且.一架無人機在空中的點處對它們進行數(shù)據(jù)測量,在同一時刻測得, .(船只與無人機的大小及其它因素忽略不計)
(1)求此時無人機到甲、丙兩船的距離之比;
(2)若此時甲、乙兩船相距100米,求無人機到丙船的距離.(精確到1米)
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【題目】記點到圖形上每一個點的距離的最小值稱為點到圖形的距離,那么平面內(nèi)到定圓的距離與到定點的距離相等的點的軌跡不可能是 ( )
A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.直線
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【題目】現(xiàn)有六名百米運動員參加比賽,甲、乙、丙、丁四名同學(xué)猜測誰跑了第一名.甲猜不是就是;乙猜不是;丙猜不是中任一個;丁猜是中之一,若四名同學(xué)中只有一名同學(xué)猜對,則猜對的是( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
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【題目】設(shè)為函數(shù)(,為定義域)圖像上的一個動點,為坐標(biāo)原點,為點與點兩點間的距離.
(1)若,求的最大值與最小值;
(2)若,是否存在實數(shù),使得的最小值不小于2?若存在,請求出的取值范圍;若不存在,則說明理由.
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【題目】若數(shù)列滿足則稱為數(shù)列.記
(1)若為數(shù)列,且試寫出的所有可能值;
(2)若為數(shù)列,且求的最大值;
(3)對任意給定的正整數(shù)是否存在數(shù)列使得?若存在,寫出滿足條件的一個數(shù)列;若不存在,請說明理由.
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