Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=2a_n-1+1，依次計(jì)算a₂，a₃，a₄后，猜想a_n的一個(gè)表達(dá)式是（　　）

A．n²-1

B．（n-1）²+1

C．2ⁿ-1

D．2^n-1+1

Answer 1

分析：由遞推式可求得數(shù)列的前4項(xiàng)，從而可猜想a_n，通過構(gòu)造等比數(shù)列可求證．

解答：解：由a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=2a_n-1+1，得
a₂=2a₁+1=2×1+1=3，a₃=2a₂+1=2×3+1=7，a₄=2a₃+1=2×7+1=15，
猜想an=2n-1，證明如下：
由a_n=2a_n-1+1，得a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），
∴{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
則a_n+1=2ⁿ，∴an=2n-1，
故選C．

點(diǎn)評：本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項(xiàng)公式，考查學(xué)生觀察分析能力及推理論證能力．