Question

已知函數y=f（x），若存在x₀，使得f（x₀）=x₀，則x₀稱是函數y=f（x）的一個不動點，設f(x)=

-2x+3

2x-7

．
（1）求函數y=f（x）的不動點；
（2）對（1）中的二個不動點a、b（假設a＞b），求使

f(x)-a

f(x)-b

=k•

x-a

x-b

恒成立的常數k的值；
（3）對由a₁=1，a_n=f（a_n-1）定義的數列{a_n}，求其通項公式a_n．

Answer 1

分析：（1）設函數y=f（x）的一個不動點為x₀，然后根據不動點的定義建立方程，解之即可；
（2）由（1）可知a=3，b=

1

2

，代入

f(x)-a

f(x)-b

=k•

x-a

x-b

可求出常數k的值；
（3）由（2）可知數列{

an-3

an+ 1 2

}是以

a1-3

a1+ 1 2

為首項，8為公比的等比數列，然后求出通項，即可求出數列{a_n}的 通項公式．

解答：解：（1）設函數y=f（x）的一個不動點為x₀，
則

-2x0+3

2x0-7

=x0，解得x0=-

1

2

，x0=3
（2）由（1）可知a=3，b=-

1

2

，

-2x+3 2x-7 -3

-2x+3 2x-7 + 1 2

=

-8x+24

-x- 1 2

=8•

x-3

x+ 1 2

可知使

f(x)-a

f(x)-b

=k•

x-a

x-b

恒成立的常數k=8．
（3）由（2）知

an-3

an+ 1 2

=8

an-1-3

an-1+ 1 2

可知數列{

an-3

an+ 1 2

}是以

a1-3

a1+ 1 2

為首項，8為公比的等比數列
即以-

4

3

為首項，8為公比的等比數列．則

an-3

an+ 1 2

=-

4

3

•8n-1
∴an=

3- 1 2 • 4 3 •8n-1

1+ 4 3 •8n-1

=

9-2•8n-1

3+4•8n-1

．

點評：本題主要考查了函數恒成立問題，以及等比數列求通項，同時考查了前后問題之間的聯(lián)系，屬于中檔題．