雙曲線C的中心為原點O，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l1，l2，經(jīng)過右焦點F垂直于l1的直線分別交l1，l2于A，B兩點．已知|
OA
|=2|
FA
|，且
BF
與
FA
同向．
（1）求雙曲線C的離心率；
（2）設(shè)AB被雙曲線C所截得的線段的長為4，求雙曲線C的方程．
（1）設(shè)雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），設(shè)漸近線y=
b
a
x的傾斜角為α，則∠BOF=∠FOA=α，
由BF⊥OB，可得∠OFA=90°+α，
∵△OFA中，|
OA
|=2|
FA
|，
∴根據(jù)正弦定理
|
OA
|
sin∠OFA
=
|
AF
|
sin∠FOA
，得sin∠OFA=2sin∠FOA，
即sin（90°+α）=2sinα，可得cosα=2sinα，
∴tanα=
sinα
cosα
=
1
2
，即
b
a
=
1
2
，得a=2b，c=
a2+b2
=
5
b，
因此，雙曲線C的離心率e=
c
a
=
5
b
2b
=
5
2
；
（2）由（1）得a=2b，雙曲線的方程可化為x2-4y2=4b2…①
設(shè)l1的斜率為
b
a
=
1
2
，可得直線AB的斜率k=-2，得直線AB的方程為y=-2（x-c），
即y=-2（x-
5
b），…②
將②代入①并化簡，得15x2-32
5
bx+84b2=0
設(shè)AB與雙曲線的兩交點的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則
x1+x2=
32
5
15
b，x1x2=
84b2
15
…③
∵AB被雙曲線所截得的線段長為l=
1+(-2)2
•|x1-x2|=
5[(x1+x2)2-4x1x2]

∴將③式代入，并可得l=
5[(
32
5
15
b)2-4×
84b2
15
]
=
4b
3

∵根據(jù)已知條件得l=4，∴
4b
3
=4，解得b=3，從而得到a=6．
因此，所求雙曲線的方程為
x2
36
-
y2
9
=1．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知P（2，1），Q（3，-2），經(jīng)過P，Q兩點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知雙曲線
x2
4
-
y2
9
=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其兩個焦點，點M在雙曲線上，若∠F1MF2=120°，則△F1MF2的面積為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

過雙曲線2x2-y2-2=0的右焦點作直線l交曲線于A、B兩點，若|AB|=2則這樣的直線存在（　�。�
A．0條B．1條C．2條D．3條

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±2x，則其離心率為（　　）
A．5B．
5
2
C．
3
D．
5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若雙曲線以y=±2x為漸近線，且A（1，0）為一個頂點，則雙曲線的方程為（　�。�
A．
x2
4
-y2=1		B．y2-
x2
4
=1		C．x2-
y2
4
=1		D．
y2
4
-x2=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過F1的直線l與C的左、右分支分別交于A，B兩點．若AB：BF2：AF2=3：4：5，則雙曲線的離心率為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

雙曲線的方程為
x2
16
-
y2
9
=1，則其離心率為（　�。�
A．
4
5
B．
5
4
C．±
4
5
D．±
5
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知雙曲線
x2
n
+
y2
12-n
=-1（n＞0）的離心率是
3
，則n=______．

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