Question

已知f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，當(dāng)x＞1時，f（x）都滿足f（x）＜0，對任意正實數(shù)x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）．求證：f（x）在（0，+∞）上是遞減函數(shù)．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由單調(diào)性的定義，設(shè)0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，當(dāng)x＞1時，f（x）滿足f（x）＜0，則f（

x2

x1

）＜0，再由f（xy）=f（x）+f（y），得到f（x₂）＜f（x₁），即可得證．

解答： 證明：設(shè)0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，
當(dāng)x＞1時，f（x）滿足f（x）＜0，
則f（

x2

x1

）＜0，
由于f（xy）=f（x）+f（y），
則f（x₂）=f（x₁•

x2

x1

）=f（x₁）+f（

x2

x1

）＜f（x₁），
即f（x₁）＞f（x₂）．
故f（x）在（0，+∞）上是遞減函數(shù)．

點評：本題考查抽象函數(shù)及運用，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，注意運用定義，屬于中檔題．