Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2ax-{a}^{2}+1}{{x}^{2}+1}$，其中a∈R．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）當a≠0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

分析 （1）把a=1代入，先對函數(shù)求導(dǎo)，然后求f（2），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，該點切線的斜率k=f′（2），從而求出切線方程．
（2）先對函數(shù)求導(dǎo)，分別解f′（x）＞0，f′（x）＜0，解得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的極值．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，f（2）=$\frac{4}{5}$，
又f′（x）=$\frac{2（1+x）（1-x）}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，f′（2）=-$\frac{6}{25}$，
所以，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-$\frac{4}{5}$=-$\frac{6}{25}$（x-2），
即6x+25y-32=0．
（2）f′（x）=$\frac{-2（x-a）（ax+1）}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
由于a≠0，以下分兩種情況討論．
①當a＞0時，令f'（x）=0，得到x₁=-$\frac{1}{a}$，x₂=a，
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-$\frac{1}{a}$）	-$\frac{1}{a}$	（-$\frac{1}{a}$，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

所以f（x）在區(qū)間（-∞，-$\frac{1}{a}$），（a，+∞）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（-$\frac{1}{a}$，a）內(nèi)為增函數(shù)．
函數(shù)f（x）在x₁=-$\frac{1}{a}$處取得極小值f（-$\frac{1}{a}$），且f（-$\frac{1}{a}$）=-a²．
函數(shù)f（x）在x₂=a處取得極大值f（a），且f（a）=1．
②當a＜0時，令f'（x）=0，得到x₁=a，x₂=-$\frac{1}{a}$，
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，a）	a	（a，-$\frac{1}{a}$）	-$\frac{1}{a}$	（-$\frac{1}{a}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

所以f（x）在區(qū)間（-∞，a），（-$\frac{1}{a}$，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（a，-$\frac{1}{a}$）內(nèi)為減函數(shù)．
函數(shù)f（x）在x₁=a處取得極大值f（a），且f（a）=1．
函數(shù)f（x）在x₂=-$\frac{1}{a}$處取得極小值f（-$\frac{1}{a}$），且f（-$\frac{1}{a}$）=-a²．

點評 本小題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩個函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及分類討論的思想方法．