Question

7．（1）當(dāng)n≥0時，試用分析法證明：$\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}＜\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$；
（2）已知x∈R，a=x²-1，b=2x+2．求證：a、b中至少有一個不小于0．

Answer 1

分析 （1）要證$\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}＜\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$成立，即證$\sqrt{n+2}+\sqrt{n}＜2\sqrt{n+1}$成立，即證其下一個充分條件成立，最后只要證 n²+2n＜n²+2n+1成立即可，而該式成立，于是命題得證；
（2）利用反證法，假設(shè) a＜0且b＜0，依題意，可證得x＜-1，這與-1＜x＜1矛盾，從而否定假設(shè)，肯定原結(jié)論成立．

解答 （1）證明：要證$\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}＜\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，
即證$\sqrt{n+2}+\sqrt{n}＜2\sqrt{n+1}$，
只要證${（\sqrt{n+2}+\sqrt{n}）^2}＜{（2\sqrt{n+1}）^2}$，
即證 $2n+2+2\sqrt{n（{n+2}）}＜4n+4$，
即證$\sqrt{n（{n+2}）}＜n+1$，
只要證 n²+2n＜n²+2n+1，
而上式顯然成立，
所以 $\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}＜\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$成立．
（2）證明：假設(shè) a＜0且b＜0，
由a=x²-1＜0得-1＜x＜1，
由b=2x+2＜0得x＜-1，
這與-1＜x＜1矛盾，
所以假設(shè)錯誤，
所以a、b中至少有一個不小于0．

點評 本題考查不等式的證明，突出考查分析法與反證法的應(yīng)用，考查推理與證明能力，屬于中檔題．