Question

已知函數(shù)f(x)=，在x=1處取得極值為2.

（1）求函數(shù)f(x)的解析式；

（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間（m，2m＋1）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）若P（x₀，y₀）為f(x)=圖象上的任意一點(diǎn)，直線l與f(x)=的圖象相切于點(diǎn)P，求直線l的斜率的取值范圍.

Answer 1

解：（1）已知函數(shù)f(x)=，

∴f′(x)=,

又函數(shù)f(x)在x=1處取得極值2，

∴即

∴f(x)=.

（2）∵f′(x)==.

由f′(x)＞0，得4-4x²＞0，即-1＜x＜1,

所以f(x)= 的單調(diào)增區(qū)間為（-1，1）.

因函數(shù)f(x)在（m，2m＋1）上單調(diào)遞增，則有解得-1＜m≤0，

即m∈(-1,0)時(shí)，函數(shù)f(x)在（m，2m＋1）上為增函數(shù).

（3）f(x)=,

∴f′(x)=,

直線l的斜率為k=f′(x₀)==4［］.

令=t，t∈(0,1),則直線l的斜率k=4(2t²-t),t∈(0,1)

∴k∈［-,4］，即直線l的斜率k的取值范圍是［-,4］

［或者由k=f′(x₀)轉(zhuǎn)化為關(guān)于x₀²的方程，根據(jù)該方程有非負(fù)根求解］.