Question

4．已知函數f（x）=（x-1）e^x+1，g（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$x²．
（I）求f（x）的單調區(qū)間及最小值；
（Ⅱ）若在區(qū)間[0，+∞）上不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導數f′（x）=xe^x，這樣根據導數符號即可得出f（x）的單調區(qū)間，并可求出f（x）的最小值；
（Ⅱ）可構造函數$h（x）=f（x）-g（x）=（x-1）{e}^{x}+1-\frac{1}{3}a{x}^{3}$$-\frac{1}{2}{x}^{2}$，求導數得到h′（x）=x（e^x-ax-1），這樣只需判斷φ（x）=e^x-ax-1的符號，求導數φ′（x）=e^x-a，可知e^x≥1，這樣討論a：a≤1，和a＞1，每種情況下判斷φ（x），h′（x）的符號，從而看是否得出h（x）≥0，這樣即可得出實數a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=xe^x；
∴x＜0時，f′（x）＜0，x＞0時，f′（x）＞0；
∴f（x）的單調遞減區(qū)間為（-∞，0），單調遞增區(qū)間為（0，+∞），且f（x）的最小值為f（0）=0；
（Ⅱ）構造函數h（x）=f（x）-g（x）=$（x-1）{e}^{x}+1-\frac{1}{3}a{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}$，x∈[0，+∞）；
∴h′（x）=xe^x-ax²-x=x（e^x-ax-1）；
∵x∈[0，+∞），
∴e^x-ax-1的符號就是h′（x）的符號；
設φ（x）=e^x-ax-1，x∈[0，+∞），φ′（x）=e^x-a；
∵x∈[0，+∞），∴e^x≥1；
①a≤1時，φ′（x）=e^x-a≥0，φ（x）在[0，+∞）上是增函數，又φ（0）=0，
∴φ（x）≥0；
∴h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上是增函數，又h（0）=0，
∴h（x）≥0；
∴a≤1符合題意；
②a＞1時，令φ′（x）=0得，x=lna＞0，在[0，lna）上φ′（x）＜0，φ（x）是減函數φ（0）=0；
∴x∈（0，lna）時，φ（x）＜0，∴h′（x）＜0，h（x）在（0，lna）上是減函數；
∴h（x）＜0；
∴a＞1不合題意；
綜上所述，實數a的取值范圍為（-∞，1]．

點評 考查基本初等函數求導公式，積的導數的計算公式，根據導數符號求函數單調區(qū)間的方法，以及根據導數符號求函數最值的方法和過程，以及函數單調性定義，構造函數的方法．