Question

已知函數f（x）=x-1-lnx
（1）求函數f（x）的最小值；
（2）求證：當n∈N⁺時，e1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞n+1．

Answer 1

分析：（1）先求出F（x）的導數，根據F′（x）＞0求得的區(qū)間是單調增區(qū)間，F′（x）＜0求得的區(qū)間是單調減區(qū)間，通過列表求出極值及最小值即可．
（2）先根據f（x）≥0，當x=1時取等號，從而得到x-1≥lnx，令x=

n+1

n

＞0，得出

1

n

＞ln

n+1

n

利用此式進行求和放縮即得所證明不等式．

解答：解：x＞0，f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

（2分）
（1）

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f（x）	-	0	…（4分） +
f（x）	遞減	極小值為0	遞增

f（x）最小值為0，當x=1時取到（1分）
（2）∵f（x）≥0，當x=1時取等號
∴x-1≥lnx，令x=

n+1

n

＞0，
∴

1

n

＞ln

n+1

n

（4分）
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n+1

n

=ln(n+1)（2分）
∴e1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞n+1（2分）

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數求閉區(qū)間上函數的最值、不等式的證明等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．