Question

已知函數(shù)f（x）=2msinxcosx+2

2

cos²x-

2

（m＞0）的最大值為2．
（Ⅰ）求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若f（

A

2

-

π

8

）+f（

B

2

-

π

8

）=4

6

sinAsinB，且C=

π

3

，c=3，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應用,余弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理為一個角的正弦函數(shù)，由最大值為2求出m的值，確定出f（x）解析式，利用正弦函數(shù)的單調性確定出f（x）的單調遞增區(qū)間即可；
（Ⅱ）由第一問確定的f（x）解析式，化簡已知等式，再利用正弦定理化簡得到a與b的關系式，再由余弦定理列出關系式，把cosC，c的值代入得到a與b的關系式，聯(lián)立求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形面積公式求出三角形ABC面積即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=msin2x+

2

cos2x=

m2+2

sin（2x+α）（其中sinα=

2

m2+2

，cosα=

m

m2+2

），
由f（x）最大值為2，得到m=

2

，即f（x）=2sin（2x+

π

4

），
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解得：-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，k∈Z，
則f（x）的單調遞增區(qū)間為[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）∵C=

π

3

，c=3，
∴由正弦定理得：2R=

c

sinC

=

3

3 2

=2

3

，即

a

sinA

=

b

sinB

=2R=2

3

，
∴sinA=

a

2 3

，sinB=

b

2 3

，
由f（x）=2sin（2x+

π

4

），得到f（

A

2

-

π

8

）+f（

B

2

-

π

8

）=2sinA+2sinB=4

6

sinAsinB，即sinA+sinB=2

6

sinAsinB，
利用正弦定理化簡得：a+b=

2

ab，
由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，即a²+b²-c²=a²+b²-9=（a+b）²-2ab-9=2a²b²-2ab-9=ab，
解得：ab=3，
則S_△ABC=

1

2

absinC=

3 3

4

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．