Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d大于0，且a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的兩根．?dāng)?shù)列{b_n}的前n項和為T_n，滿足T_n=2-b_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，記c_n=（S_n-λ）•b_n（λ∈R，n∈N^*）．若c₆為數(shù)列{c_n}中的最大項，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，可得a₂+a₅=12，a₂a₅=27，結(jié)合d＞0，可得數(shù)列{a_n}的通項公式；利用T_n=2-b_n，再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）根據(jù)c_n=（S_n-λ）•b_n，確定表達(dá)式，利用c₆為數(shù)列{c_n}中的最大項，即可求實數(shù)λ的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的兩根
∴a₂+a₅=12，a₂a₅=27，
∵d＞0，∴a₂=3，a₅=9，
∴d=

a5-a2

3

=2，a1=1，
∴a_n=2n-1（n∈N^*）
在已知T_n=2-b_n中，令n=1，得b₁=1
當(dāng)n≥2時，T_n=2-b_n，T_n-1=2-b_n-1，兩式相減得，b_n=b_n-1-b_n，
∴

bn

bn-1

=

1

2

(n≥2)，
∴bn=(

1

2

)n-1(n∈N*)
（Ⅱ）∵Sn=

n[1+(2n-1)]

2

=n2，則cn=(Sn-λ)•bn=(n2-λ)•(

1

2

)n-1
當(dāng)n≥2時，cn-cn-1=(n2-λ)•(

1

2

)n-1-[(n-1)2-λ]•(

1

2

)n-2=

-n2+4n-2+λ

2n-1

∴c₆為數(shù)列{c_n}中的最大項，
∴有n≥7時，c_n-c_n-1≤0，
∴λ≤23，n≤6時，c_n-c_n-1≥0，
∴λ≥14
∴14≤λ≤23．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項，考查數(shù)列的單調(diào)性，確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵．