Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-klnx，k∈R．
（1）求f（x）的單調(diào)性；
（2）判斷方程f（x）=0在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$）上是否有解？若有解，說明解的個數(shù)及依據(jù)；若無解，說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再分類根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可解決；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及k的范圍，即可判斷f（x）=0在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$）解得個數(shù)．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-klnx，其定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=x-$\frac{k}{x}$，
當k≤0時，f′（x）＞0恒成立，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
當k＞0時，令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{k}$
當f′（x）＞0時，解得x＞$\sqrt{k}$，此時函數(shù)f（x）在（$\sqrt{k}$，+∞）單調(diào)遞增，
當f′（x）＜0時，解得0＜x＜$\sqrt{k}$，此時函數(shù)f（x）在（0，$\sqrt{k}$）單調(diào)遞減，
綜上所述，當k≤0時，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
當k＞0時，f（x）在（$\sqrt{k}$，+∞）單調(diào)遞增，在（0，$\sqrt{k}$）單調(diào)遞減．
（2）由（1）可知，①當k≤0時，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∵方程f（x）=0在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$）上是有解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）＜0}\\{f（\sqrt{e}）＞0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜0}\\{\frac{e}{2}-\frac{k}{2}＞0}\end{array}\right.$此時k的值不存在，
②∵f（1）=$\frac{1}{2}$＞0，f（$\sqrt{e}$）=$\frac{e-k}{2}$，
當0＜$\sqrt{k}$＜1時，即0＜k＜1時，f（x）在（1，$\sqrt{e}$）單調(diào)遞增，由f（1）=$\frac{1}{2}$＞0，故f（x）=0在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$）上無解
當1≤$\sqrt{k}$≤$\sqrt{e}$時，即1≤k≤e時，f（x）_min=f（$\sqrt{k}$）=$\frac{k}{2}$-kln$\sqrt{k}$=kln$\sqrt{\frac{e}{k}}$＞0，故f（x）=0在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$）上無解
當$\sqrt{k}$＞$\sqrt{e}$時，即k≥e時，f（x）在（1，$\sqrt{e}$）單調(diào)遞減，由f（$\sqrt{e}$）=$\frac{e-k}{2}$＜0，故f（x）=0在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$）上有唯一解，
綜上所述，當k≤e時，f（x）=0在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$）上無解，
當k＞e時，故f（x）=0在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$）上有唯一解．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查函數(shù)恒成立問題，考查了分類討論，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．