Question

已知函數(shù)f（x）=x+

k

x

，且此函數(shù)圖象過點(diǎn)（2，6）
（1）求實(shí)數(shù)k的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）判斷函數(shù)f（x）在[3，+∞）上的單調(diào)性，并給予證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）代入點(diǎn)的坐標(biāo)，解方程即可得到k=8；
（2）運(yùn)用奇偶性的定義，首先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再計(jì)算f（-x），與f（x）比較，即可得到奇偶性；
（3）函數(shù)f（x）在[3，+∞）上遞增．運(yùn)用單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形、定符號和下結(jié)論幾個(gè)步驟．

解答： 解：（1）由題意可得f（2）=6，
即2+

k

2

=6，解得，k=8；
（2）函數(shù)f（x）=x+

8

x

的定義域?yàn)閧x|x≠0}關(guān)于原點(diǎn)對稱，
f（-x）=-x-

8

x

=-（x+

8

x

）=-f（x），則f（x）為奇函數(shù)；
（3）函數(shù)f（x）在[3，+∞）上遞增．
證明如下：設(shè)m＞n≥3，則f（m）-f（n）=m+

8

m

-（n+

8

n

）
=（m-n）+

8(n-m)

mn

=（m-n）•

mn-8

mn

，
由m＞n≥3，則m-n＞0，mn＞9，即mn-8＞0，
則有f（m）-f（n）＞0，即有f（m）＞f（n），
故f（x）在[3，+∞）上遞增．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，考查定義法的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．