Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁與平面ACD₁所成角的正弦值為

3

3

．

Answer 1

分析：BB₁與平面ACD₁所成角即為DD₁與平面ACD₁所成角，過點D作平面ACD₁的垂線交平面與點O，連接D₁O，則∠DD₁O即為DD₁與平面ACD₁所成角，利用等體積法求出DO長，在直角三角形中求出∠DD₁O的正弦值即可．

解答：解：∵BB₁∥DD₁，
∴BB₁與平面ACD₁所成角即為DD₁與平面ACD₁所成角，
過點D作平面ACD₁的垂線交平面與點O，連接D₁O，則∠DD₁O即為DD₁與平面ACD₁所成角，
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，
∵V_D-ACD1=V_D1-ADC，
∴

1

3

×

3

4

(

2

)2×DO=

1

3

×

1

2

×1×1×1，則DC=

3

3

，
在Rt△DD₁O中，sin∠DD₁O=

DO

DD1

=

3 3

1

=

3

3

．
故答案為：

3

3

．

點評：本小題主要考查正方體的性質、直線與平面所成的角、點到平面的距離的求法，利用等體積轉化求出D到平面ACD₁的距離是解決本題的關鍵所在，這也是轉化思想的具體體現．