Question

數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，S_n是其前n項(xiàng)和（n∈N^*），若a4+3a6=13，S6=

27

2

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

1

anan+1

，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_n的表達(dá)式；
（3）設(shè)Cn=32an-1，求C₂+C₄+C₆+…+C_2n+2．

Answer 1

分析：（1）直接把條件a4+3a6=13，S6=

27

2

轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)和公差來(lái)表示，求出首項(xiàng)和公差，即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）直接把上一問(wèn)的結(jié)果代入，求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；再利用裂項(xiàng)相消法求出T_n的表達(dá)式；
（3）先把所求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入求出Cn=32an-1=3ⁿ，進(jìn)而得到c₂，c₄，c₆…c_2n-2是首項(xiàng)為9，公比為9的等比數(shù)列．再代入等比數(shù)列的求和公式即可求C₂+C₄+C₆+…+C_2n+2．

解答：解：（1）由已知得：

4a1+18d=13 6a1+ 6×(6-1) 2 d= 27 2

解得：

a1=1 d= 1 2

．
所以a_n=1+（n-1）×

1

2

=

n+1

2

．
（2）∵bn=

1

anan+1

=

4

(n+1)(n+2)

=4（

1

n+1

-

1

n+2

）
∴s_n=4[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）]
=4（

1

2

-

1

n+2

）=

2n

n+2

．
（3）∵Cn=32an-1=3ⁿ，
∴c₂，c₄，c₆…c_2n-2是首項(xiàng)為9，公比為9的等比數(shù)列．
∴C₂+C₄+C₆+…+C_2n+2=3²+3⁴+…+3²ⁿ⁺²=

9(1-9n+1)

1-9

=

9n+2-9

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問(wèn)題．解決本題的關(guān)鍵在于求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式以及裂項(xiàng)相消求和的運(yùn)用．