Question

（文）已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-ax-1（a＞0），設f′（x）的最小值為-
（I）求a的值；
（II）求f（x）在[-1，m]上的最大值g（m）．

Answer 1

【答案】分析：（I）f′（x）=3x²+2ax-a=3（）²-，當時，f′（x）取最小值=，由此能求出a．
（II）f（x）=x³+x²-x-1=（x+1）²（x-1），f′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1），列表討論能求出f（x）在[-1，m]上的最大值g（m）．
解答：解：（I）∵f（x）=x³+ax²-ax-1（a＞0），
∴f′（x）=3x²+2ax-a=3（）²-，
∵f′（x）的最小值為-，
∴當時，f′（x）取最小值=，
解得a=1或a=-4（舍）
故a的值為1．…（4分）
（II）f（x）=x³+x²-x-1=（x+1）²（x-1），
f′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1），…（6分）
當x變化時，f′（x）、f（x）的變化如下表：

x	（-∞，-1）	1	（-1，）		（，+∞）
f′（x）	+		-		+
f（x）	↑	極大值0	↓	極小值	↑

當-1＜m＜1時，g（m）=f（-1）=0；
當m≥1時，g（m）=f（m）=m³+m²-m-1，
∴g（m）=．…（12分）
點評：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．