Question

過曲線C：y=x²-1（x＞0）上的一點P（x₀，y₀）作C的切線l，且l與坐標(biāo)軸交于M、N兩點．
（1）試用x₀表示△OMN的面積S；
（2）問：當(dāng)x₀為何值時，面積S取到最小值，并求出此時P點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x₀，y₀）為曲線C：y=x²-1（x＞0）上一點，過點P作曲線C的切線l，利用導(dǎo)數(shù)可求得切線l的斜率及方程，從而可求得l與兩坐標(biāo)軸交于M，N兩點的坐標(biāo)，繼而可求△OMN的面積．
（2）根據(jù)（1）中得到的關(guān)于x₀的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求出極小值即最小值，得到此時的x₀的值，即可求出對應(yīng)的點P的坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)切點為Q（a，a²-1），
∵y=x²-1（x＞0），則y′=2x，
∴切線l的斜率k=y′|_x=a=2a，
由點斜式可得切線l方程為：y-（a²-1）=2a（x-a），
又切線l過點P（x₀，y₀），且y₀=x₀²-1，
∴x₀²-1-（a²-1）=2a（x₀-a），解得，a=x₀，
∴切線l方程為：y-（x₀²-1）=2x₀（x-x₀），即y=2x₀x-x₀²-1，
令x=0，可得y=-1-x₀²，則M（0，-1-x₀²），
令y=0，可得x=

x02+1

2x0

，則N（

x02+1

2x0

，0），
∴S=

1

2

×|-1-x02|×|

x02+1

2x0

|=

(x02+1)2

4x0

（x₀＞0）；
（2）根據(jù)（1）可得，S=

(x02+1)2

4x0

（x₀＞0），
∴S′=

3x04+2x02-1

4x02

=

(x02+1)(3x02-1)

4x02

，
令S′=0，可得，x₀=-

3

3

（舍）或x₀=

3

3

，
又S在（0，

3

3

）單調(diào)遞減，在（

3

3

，+∞）單調(diào)遞增，
∴S在x₀=

3

3

處取得極小值即最小值，此時P的坐標(biāo)為（

3

3

，-

2

3

），
故當(dāng)x₀=

3

3

時，面積S取到最小值，此時P點的坐標(biāo)為（

3

3

，-

2

3

）．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，同時考查了直線的方程以及直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的求解，要注意求面積時橫截距和縱截距要用絕對值表示．求面積的最值時，利用導(dǎo)數(shù)求最值．屬于中檔題．