Question

已知函數(shù)f（x）=x+

4

x

（1）證明：f（x）在區(qū)間（0，2）單調(diào)遞減．
（2）求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上最大值．

Answer 1

分析：（1）用定義證明f（x）在區(qū)間（0，2）是減函數(shù)；
（2）先判定f（x）在（-∞，-2）是增函數(shù)，在（-2，0）上是減函數(shù)，從而求出最大值．

解答：證明：（1）∵f（x）=x+

4

x

（且x≠0），∴任取x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

4

x1

）-（x₂+

4

x2

）=（x₁-x₂）+（

4

x1

-

4

x2

）=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

；
∵0＜x₁＜x₂＜2，∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4，∴x₁x₂-4＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）是（0，2）上的減函數(shù)；
（2）∵f（x）=x+

4

x

（且x≠0），
∴f，（x）=1-

4

x2

，令f，（x）=0，則x=±2；
當(dāng)x＜-2時，f，（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；當(dāng)0＞x＞-2時，f，（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
∴當(dāng)x=-2時，f（x）在（-∞，0）上有最大值f（x）_max=-2+

4

-2

=-4．

點(diǎn)評：本題考查了用定義或?qū)��?shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，以及利用單調(diào)性求函數(shù)最值的問題，是基礎(chǔ)題．