Question

已知函數(shù)f（x）=

x+1-a

a-x

（a∈R且x≠a）．
（Ⅰ）求證：f（x）+f（2a-x）=-2對定義域內(nèi)的所有x都成立；
（Ⅱ）當(dāng)f（x）的定義域?yàn)閇a+

1

2

，a+1]時(shí)，求證：f（x）的值域?yàn)閇-3，-2]；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=x²+|（x-a）•f（x）|，當(dāng)a=-1時(shí)，求g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）+f（2a-x）=-2可轉(zhuǎn)化為：

x+1-a

a-x

+2+

a-x+1

x-a

=

x+1-a+2a-2x-a+x-1

a-x

=0，與x取值無關(guān)得證；
（Ⅱ）由定義域?yàn)閇a+

1

2

，a+1]，得-1≤a-x≤-

1

2

，-2≤

1

a-x

≤-1，再由f（x）=1+

1

a-x

求解．
（Ⅲ）解：由a=-1，得g（x）=x²+|x|（x≠-1）當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)=(x+

1

2

)2-

1

4

求得最小值；當(dāng)x≤0時(shí)，g(x)=(x-

1

2

)2-

1

4

求得最小值，最后從中取最小的，作為函數(shù)的最小值．

解答：證明：（Ⅰ）f（x）+f（2a-x）=-2可轉(zhuǎn)化為：

x+1-a

a-x

+2+

a-x+1

x-a

=

x+1-a+2a-2x-a+x-1

a-x

=0
與x取值無關(guān)
∴f（x）+f（2a-x）=-2對定義域內(nèi)的所有x都成立；
（Ⅱ）證明：
a+

1

2

≤x≤a+1時(shí)， -a-1≤-x≤-a-

1

2

-1≤a-x≤-

1

2

，-2≤

1

a-x

≤-1
f（x）值域?yàn)閇-3，-2]-3≤-1+

1

a-x

≤-2
（Ⅲ）解：當(dāng)a=-1時(shí)，g（x）=x²+|x|（x≠-1）
（�。┊�(dāng)x≥0時(shí)，g(x)=(x+

1

2

)2-

1

4

則函數(shù)g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
g（x）_min=g（0）=0
（ⅱ）當(dāng)x≤0時(shí)，g(x)=(x-

1

2

)2-

1

4

則函數(shù)g（x）在（-∞，0]且x≠-1時(shí)單調(diào)遞減，
g（x）_min=g（0）=0
綜合得：當(dāng)x≠-1時(shí)，g（x）的最小值是0．

點(diǎn)評：本題主要考查恒成立問題、分類常數(shù)法轉(zhuǎn)化函數(shù)及分段函數(shù)求最值問題．