Question

12．如圖，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點，將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，連結(jié)BM．

（Ⅰ）求證：BM⊥平面ADM；
（Ⅱ）求二面角A-DM-C的余弦值； 
（Ⅲ）若點E是線段DB上的一動點，問點E在何位置時，三棱錐M-ADE的體積為$\frac{{\sqrt{2}}}{12}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出AM⊥BM，由此能證明BM⊥平面ADM，
（2）分別取AM，AB的中點O和N，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-DM-C的余弦值．
（3）求出平面ADM的一個法向量，從而點E到平面ADM的距離d=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\sqrt{2}λ$，由此利用體積公式能求出E為BD的中點時，三棱錐M-ADE的體積為$\frac{{\sqrt{2}}}{12}$．

解答 證明：（Ⅰ）∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點，
∴AM=BM=$\sqrt{2}$，
∴AM²+BM²=AB²，∴AM⊥BM．
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，
∴BM⊥平面ADM，
解：（2）分別取AM，AB的中點O和N，則ON∥BM，
在（1）中證明BM⊥平面ADM，
∴ON⊥⊥平面ADM，ON⊥AM，ON⊥OD，
∵AD=DM，∴DO⊥AM，
建立空間直角坐標系，如圖，
D（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），M（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），C（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
則$\overrightarrow{DM}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{MC}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面CDM的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{m}=-\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{m}=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y=0}\end{array}\right.$，
令x=1，則y=1，z=-1，即$\overrightarrow{m}$=（1，1，-1），
由題意知$\overrightarrow{n}$=（0，1，0）是平面ADM的法向量，
設(shè)二面角A-DM-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角A-DM-C的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（3）D（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），A（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），B（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$，0），
∴$\overrightarrow{DB}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∵E是線段DB上的一個動點，
∴$\overrightarrow{DE}$=$λ\overrightarrow{DB}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}λ$，$\sqrt{2}λ$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$λ），則E（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$λ，$\sqrt{2}λ$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$λ），
∴$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$λ-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}λ$，$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$λ），
$\overrightarrow{n}$=（0，1，0）是平面ADM的一個法向量．
點E到平面ADM的距離d=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\sqrt{2}λ$，
則V_M-ADE=$\frac{1}{3}{S}_{△ADM}•d$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\sqrt{2}$λ=$\frac{\sqrt{2}}{12}$，
解得λ=$\frac{1}{2}$，則E為BD的中點．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法中，考查滿足條件的點的位置的確定，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．